Matemáticos cuestionan regla geométrica de 150 años con superficies toro

Sábado 14 Marzo 2026 - 07:00

Un grupo internacional de matemáticos ha demostrado que un principio clásico de la geometría diferencial formulado hace más de un siglo no se cumple en todos los casos. Los investigadores lograron construir dos superficies en forma de toro que poseen exactamente las mismas medidas geométricas y la misma curvatura media, pero que no corresponden a una misma forma global.

La regla original fue propuesta en 1867 por el matemático francés Pierre Ossian Bonnet. Según ese principio, la forma de una superficie compacta podía determinarse de manera única a partir de su métrica, que describe las distancias entre puntos de la superficie, y de su curvatura media, que indica cómo se dobla la superficie en el espacio tridimensional.

Sin embargo, un nuevo estudio demuestra que esa afirmación no siempre es válida. Alexander Bobenko, de la Universidad Técnica de Berlín, Tim Hoffmann, de la Universidad Técnica de Múnich, y Andrew O. Sageman-Furnas, de la Universidad Estatal de Carolina del Norte, construyeron dos toros compactos inmersos en el espacio tridimensional que comparten la misma métrica y la misma función de curvatura media, pero que no son congruentes.

El trabajo fue publicado en la revista Publications Mathématiques de l’IHÉS y presenta los primeros ejemplos conocidos de “pares compactos de Bonnet”. Este término describe dos superficies cerradas que coinciden en sus datos métricos y de curvatura, aunque poseen formas distintas.

Hasta ahora, los contraejemplos a la regla de Bonnet solo se habían observado en superficies no compactas, es decir, aquellas que se extienden indefinidamente o tienen bordes abiertos. Para superficies compactas como las esferas, los matemáticos habían demostrado que la regla funcionaba correctamente. En el caso de los toros, la teoría indicaba que podían existir como máximo dos superficies diferentes con la misma métrica y curvatura media, pero nunca se había encontrado un ejemplo concreto.

Hoffmann explicó que el descubrimiento resuelve un problema antiguo en el estudio de la geometría de superficies. El resultado demuestra que incluso en superficies cerradas similares a un anillo, las mediciones geométricas locales no siempre determinan una única forma global.

El avance surgió a partir de un enfoque que combinó geometría discreta y experimentación computacional. Según informó Quanta Magazine, Sageman-Furnas comenzó investigando posibles pares compactos de Bonnet mediante superficies discretas, aproximaciones simplificadas de formas suaves que pueden analizarse mediante cálculos informáticos.

Una búsqueda computacional realizada en 2018 identificó una configuración prometedora de toro discreto. A partir de esa estructura, el equipo desarrolló posteriormente una versión suave y analítica de la superficie.

La idea central consistió en restringir las líneas de curvatura para que se ubicaran en planos o en esferas, basándose en estudios clásicos del matemático del siglo XIX Gaston Darboux. Tras varios años de trabajo que combinó análisis matemático tradicional con herramientas informáticas, los investigadores lograron construir toros suaves cuyas líneas de curvatura se cierran correctamente.

La investigación también resuelve un problema relacionado planteado en 1929 por Wilhelm Cohn-Vossen y retomado en 2010 por Marcel Berger. Esa cuestión analizaba si las propiedades analíticas de la métrica por sí solas podían determinar de forma única la inmersión de una superficie compacta.

Aun así, el estudio deja nuevos desafíos abiertos. Los dos toros construidos por los investigadores presentan auto-intersecciones, lo que abre la posibilidad de futuras investigaciones para encontrar ejemplos similares que no se crucen a sí mismos. Bobenko expresó su interés en demostrar la existencia de toros de Bonnet compactos sin auto-intersecciones.

Robert Bryant, matemático de la Universidad Duke, señaló que durante años muchos investigadores pensaron que los pares compactos de Bonnet no existían. Según explicó a Quanta Magazine, esa idea persistía principalmente porque nadie había logrado construir un ejemplo concreto.